Тема «Множества»
(Примеры множеств. Элементы множества. Подмножества.
Объединение, пересечение, разность множеств. Решения задач по теме: «Множества»)
В разговоре мы часто употребляем слово «множество»: «множество людей присутствовало на празднике», «книга иллюстрирована множеством картинок», «на ночном небе видно бесконечное множество звезд» и т.д. А что обозначает «множество» с математической точки зрения?
Множество – одно из фундаментальных понятий современной математики. Оно используется практически во всех ее разделах. Оно является неопределяемым, исходным понятием математики, таким, как точка или прямая. Основы современной теории множеств заложил выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845-1918 гг.). Он описывал множество как «многое, мыслимое нами, как единое целое».
Будем считать множеством совокупность каких-либо объектов, рассматриваемую как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.
НАПРИМЕР: 1. Множество дней недели состоит из следующих элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресение.
2. На рисунке изображено множество геометрических фигур.
3. Множество учеников Вашего класса (фамилия и имя элементов).
4. Множество цифр (от 0 до 9) и т.п.
Рассматривая материал дальше, мы будем постоянно возвращаться к примерам 1- 4, поэтому они записаны на доске, а ниже добавим новые понятия применительно к этим примерам. А учащимся предложить рассматривать новые понятия применительно и к их примерам, записанным в тетрадях.
- Обычно множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского или русского алфавита, а для перечисления элементов множества используют фигурные скобки. Порядок, в каком перечисляются элементы множества – неважен.
Вернемся к примерам.
1. Обозначим множество дней недели буквой Н.
Тогда можно записать:
Н = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресение}.
2. Обозначим множество геометрических фигур, изображенных на рисунке буквой Ф.
Тогда Ф = {а, б, в, г, д, к, л, м, н, о}. В этой записи мы каждый элемент множества обозначили строчными буквами, что часто делают в математике.
3. Обозначим буквой У множество учеников Вашего класса.
Тогда У = {Саша Осипов, Саша Соловьёва, …, Янов Слава}, например.
4. Обозначим буквой С множество цифр в математике ,
тогда С ={0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9}.
Если объект входит в данное множество, то говорят, что он принадлежит множеству, и записывают этот факт следующим образом: a Î A. Если объект не является элементом данного множества, то для записи этого факта используется знак Ï: б Ï А.
Приведенные примеры, поясняющие новый материал, можно использовать в качестве упражнений для учащихся с дальнейшей проверкой и обсуждением.
Вернемся к примерам.
1. понедельник Î Н; вторникÎ Н; среда Î Н; январь Ï Н; март Ï Н.
2. а Î Ф; м Î Ф; оÎ Ф; ю Ï Ф.
3. Саша Осипов Î У; Джон Смит Ï У.
- Множества могут содержать конечное число элементов или бесконечное число элементов. Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными. Множество, в котором бесконечное число элементов, называется бесконечным.
Число элементов конечного множества называют его мощностью.
Мощность множества Н равна 7, мощность множества Ф равна 10, мощность множество У равна количеству учеников вашего класса-21 .
Обращаем внимание учащихся на то, что множество натуральных чисел бесконечно и, значит, назвать число элементов в нем мы не можем. О мощности таких множеств будем говорить в старших классах.
Если два множества состоят из одинакового количества элементов (имеют равные мощности), то они называются равномощными. Например, множество времен года и множество арифметических знаков равномощны, так как каждое из них содержит по четыре элемента.
- Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент из В является элементом А. Записывается это так: B Ì A. Также говорят, что А содержит (или включает) В.
1. Обозначим множество выходных дней недели буквой В, а множество рабочих дней (будни) – буквой Б.
Тогда: В = {суббота, воскресение}, Б = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница}.
B Ì Н; Б Ì Н.
ЗАКРЕПЛЕНИЕ ТЕМЫ
ЗАДАНИЕ. Даны множества:
множество А учеников 5 класса нашей школы;
множество В всех учеников нашей школы;
множество С учеников 5 класса нашей школы, посещающих бассейн;
множество Е всех учащихся школ города Кировска;
множество К учеников 5 гимназического класса нашей школы.
Верно ли что:
множество А есть подмножество множества В (да)
множество А есть подмножество множества К (нет, А больше К)
множество В есть подмножество множества Е (да)
множество К есть подмножество множества С ( нет)
Есть несколько способов обозначения множеств. Можно переписать все элементы множества в фигурные скобки .
- ( устно) Приведите примеры множеств, элементами которого являются:
а) животные ( например семейство или род или вид и т.п.)
б) числа ( например однозначные, чётные, делящиеся на 4 и т.)
в) геометрические фигуры.
2. Перечислите элементы множеств:
а) частей света;
б) цифр;
в) дней недели;
г) цветов радуги.
- Даны множества:
А – множество фруктов в корзине
В – множество яблок в этой корзине
С – множество груш в этой корзине
D – множество слив в этой корзине
Чем являются множества В, С и D для множества А?( подмножеством)
Чем является множество А для множеств В, С и D?(надмножеством)
Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В, называют пересечением множеств А и В.
Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А, или множеству В, называют объединением множеств А и В.
Изучим понимание смысла основных операций используя диаграммы Эйлера -- Венна
Самостоятельная работа ( Самооценка):
Вам дана пара множеств:
А = {a, b, c, d, e, f} и B = {b, e, f, k, l}.
Какое из ниже приведенных множеств является их пересечением:
а) {a, b, f}
* б) {b, e, f}
в) {b, e, f, k, l}?
Какое из ниже приведенных множеств является их объединением
* а) {a, b, c, d, e, f, k, l }
б) {b, r ,f, k, l} ?
ЗАДАНИЯ
Я буду называть множество, а вы попытайтесь определить, сколько в этом множестве элементов. Ответ свой обоснуйте.
*множество месяцев года;
множество весенних месяцев;
множество богатырей в “Сказке о мёртвой царевне” А.С. Пушкина;
множество гласных букв в русском алфавите;
множество крыльев птицы;
*множество чисел, которые делятся на 0;
множество учебных месяцев в году;
*множество хвостов у волка;
множество пальцев на руке человека;
океанов;
множество множество цифр больше 1;
множество мальчиков нашего класса
Новая тема
Для счета предметов применяют натуральные числа.
Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Такую запись чисел называют десятичной.
Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
Самое маленькое натуральное число — единица (1).
В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего.
Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.
Значение цифры зависит от ее места в записи числа.
Например 674:
цифра 4 означает: 4 единицы, она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц),
цифра 7 десятки, она стоит на предпоследнем месте(в разряде десятков),
цифра 6 сотни, она стоит на третьем месте от конца (в разряде сотен) и т.д.
Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа "нуль". Это число означает "ни одного".
Нуль не относят к натуральным числам. Если запись натурального числа состоит из одного знака — одной цифры, то его называют однозначным. Например, числа 1, 5, 8 — однозначные.
Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.
Например, числа 14, 33, 28, 95 — двузначные.
Числа 386, 555, 951 — трехзначные.
Числа 1346, 5787, 9999 — четырехзначные и т. д.
Обозначим буквой N множество натуральных чисел.
тогда N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.
Какое же множество – матрёшка для множества натуральных чисел? ( однозначные, двузначные и т.п.)
Закрепление темы:
Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:
а) множество чисел, делящихся на 2 ;
б) множество чисел делящихся на 5;
в) множество деревьев в лесу;
г) множество натуральных чисел;
д) множество рек Новосибирской области;
Запишите, какие из перечисленных чисел: 1; ; 25; 3,5; 167 принадлежат множеству N, а какие нет. Подход к использованию примеров зависит от уровня группы
4. 1Î N; 25 Î N; 167 Î N; Ï N; 3,5 Ï N.
Какие свойства натурального ряда вы запомнили?
- Натуральный ряд начинается с 1.
- В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего.
- Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА - Тест по теме «Множества»
Вам представлен тест с выбором правильного ответа. После каждого вопроса обведите в кружок букву с правильным ответом
1 вариант
1. Определить какое из множеств является подмножеством
А = {10, 20, 30, 40, 50, 60}
a) {10} б) {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70} в) {10, 15}
2. Какое из множеств определяет , если А = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
a) {4, 5} б) {1, 2, 3, 4, 5} в) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
3. Какое из множеств определяет , если A = {1, 3, 5, 7, 9}, B={1, 2, 3, 4}
а) {1, 3, 5, 7} б) {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} в) {1, 3}
4. Какое множество определяет А\В, если А = {a, b, c, d, e, f}, B={b,d,f}
a) {a, b, c, d, e, f} б) {b,d,f} в) {a, c, e}
5. На каком рисунке изображено объединение множеств А и В ()?
Творческие работы учащихся:
- Игра “Множества-матрешки”. Правила игры: Я называю множество, а вы для него множество-матрёшку ( т.е. – подмножество)
множество игрушек (механические игрушки, резиновые, мягкие, электронные, ...)
множество посуды (фарфоровая, деревянная, чайная, столовая, декоративная, ...)
множество букв (гласные, согласные, заглавные,…)
Множества одежды ( рубаха, платье и т.д.)
Я называю остров, на котором живёт множество, а вы – жителей этого острова – элементы множества. Выигрывает тот, кто последним назвал элемент заданного множества. Множество овощей (картофель, капуста, морковь, огурцы, помидоры,...,свекла ).
Свекла – раз, свекла – два, свекла – три.
Множество деревьев (берёза, осина, сосна, дуб, ель, липа,..., тополь).
Тополь – раз, тополь – два, тополь – три.
Посмотрите, как много мы назвали жителей этих островов, т.е. элементов множеств. Но назвали мы их не все, их гораздо больше.
Так от какого же слова происходит слово “множество”? (От слова “много”)
Однако в математике словом “множество” обозначают необязательно большую группу предметов или существ. Бывают множества с одним элементом.
Например, множество звёзд, освещающих Землю.
Назовите единственный элемент этого множества. (Солнце)
Бывают и пустые множества.
Например, множество птиц среди гостей Мухи-Цокотухи.
Приведите свои примеры множества с одним элементом, пустого множества.
В каких двух множествах живет крокодил Гена? (во множестве животных и множестве героев мультфильма).
Красная Шапочка? (во множестве людей, множестве детей и множестве героев сказок).
- Игра “Пересечение множеств”.
У вас на парте две карточки
Правила игры. Я буду называть пары множеств. Если множества не пересекаются, то вы показываете карточку 1, если пересекаются, то карточку 2 и придумайте пример какого-нибудь элемента этих множеств, который находится на пересечении, и поднимите руку.
множества животных и героев мультфильмов (Винни-Пух, Кот Матроскин, Ослик Иа...);
множества хищников и полосатых животных (тигр);
множества рыб и птиц ( пустое)
множества продавцов и покупателей (продавец, идущий в магазин в свой выходной день);
множества цветов и бабочек ( пустое)
множества учителей и родителей (учитель, имеющий ребёнка);
множества чётных чисел и чисел, которые делятся на 4 (4, 8, 16, 20,…)
ЗАДАЧИ
- У Андрея есть несколько дубовых кубиков, несколько березовых кубиков, несколько железных кубиков и ровно один бронзовый кубик. Ровно 6 кубиков не дубовые, ровно 7 кубиков не железные, ровно 3 кубика не деревянные. Сколько дубовых кубиков у Андрея?
- Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов. Оценку ниже пяти баллов получили 180 человек, а выдержали экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки «3» или «4»?
- В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?
- В школе 1400 учеников. Из них1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на лыжах, и на коньках?
- В группе 100 туристов 70 знают английский язык, 45- французский, и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского?
- В олимпиаде по математике принимали участие 40 учащихся. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну – по геометрии и одну – по тригонометрии. Результаты проверки работ представлены в таблице:
|
Решены задачи
|
Количество решивших
|
|
По алгебре
|
20
|
|
По геометрии
|
18
|
|
По тригонометрии
|
18
|
|
По алгебре и геометрии
|
7
|
|
По алгебре и тригонометрии
|
8
|
|
По геометрии и тригонометрии
|
9
|
Известно также, что трое не справились ни с одной задачей. Сколько учащихся решили все три задачи? Сколько решили ровно две задачи?
- В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50, по информатике – 48. Когда учеников спросили , в скольких олимпиадах участвовали, ответ « в двух» дали вдвое меньше человек, чем в «в одной», а «в трех» - втрое меньше, чем в «одной». Сколько всего учеников участвовали в этих олимпиадах?
- Аня и Валя решили устроить вечеринку и пригласить на нее своих знакомых. На вечеринке оказалось, что Аня знакома с 80% всех гостей, прибывших на вечеринку, а Валя – с 60%. Среди гостей 6 человек оказались общими знакомыми Ани и Вали. Сколько гостей прибыло на вечеринку?
- Среди учащихся седьмых классов одной из школ провели опрос. На вопрос: «Какой предмет вы любите больше – математику или иностранный язык?» - большая часть ответила, что математику, а меньшая - иностранный язык. Далее, оказалось, что среди любителей иностранного языка 85% предпочитают английский, а остальные 15% - французский. Среди любителей математики 52,5% любят задачи по алгебре, 42,5% - по геометрии, а оставшиеся 2 человека- задачи по таблице умножения. Сколько школьников участвовало в опросе?
- А – подмножество множества натуральных чисел; каждый элемент множества А есть число, кратное или 2, или 3, или 5. Найти число элементов в множестве А, если среди них 70 чисел, кратных 2; 60 чисел кратных 3; 80 чисел, кратных 5; 32 числа, кратных 6; 35 чисел, кратных 10; 38 чисел, кратных 15 и 20 чисел, кратных 30.
- На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса прочитал книги А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читали 25 учащихся, книгу В – 22, книгу С – также 22. Книгу А или В читали 33 ученика, А или С – 32, В или С – 31; все три книги прочли 10 учеников. Сколько учащихся прочли только по одной книге? Сколько не читали ни одной из этих трех книг?
- Среди абитуриентов, выдержавших приемные экзамены в вуз, «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике или физике – 75, по математике или русскому языку – 76, по физике или русскому языку – 66 , по всем трем предметам – 4. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятерку? Сколько среди них получили только одну пятерку?
- Каждый из учеников класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, при этом спектакли А, В и С посмотрели соответственно 25,12 и 23 учащихся. Сколько учеников в классе? Сколько из них видели спектакли А и В, А и С, В и С?
- В течении недели в кинотеатре демонстрировались фильмы А, В и С. Из 40 школьников, каждый из которых посмотрел все три фильма или один из трех, фильм А видели 13, В – 16, С – 19 школьников. Сколько школьников посмотрели все три фильма?
- Староста одного класса дал следующие сведения об учениках: «В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на «хорошо» и «отлично», в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков, и 17 успевают на «хорошо» и «отлично». 15 мальчиков учатся на «хорошо» и «отлично» и в то же время занимаются спортом». Через несколько дней его вызвал к себе классный руководитель (который как назло, вел математику) и сказал, что в сведениях есть ошибка. Как он это узнал?
1. Определить какое из множеств является подмножеством
А = {5, 15, 25, 35, 45, 55}
a) {55} б) {5, 25, 50} в) {25, 55, 75}
2. Какое из множеств определяет , если А = {2,4, 6, 8, 10}, B = {8, 10, 12, 14}
a) {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} б) {8, 10, 12, 14} в) {8, 10}
3. Какое из множеств определяет , если A = {2,4, 6, 8, 10}, B = {2, 4, 8, 9}
а) {2, 4, 6, 8, 10} б) {2, 4, 8, 9} в) {2, 4, 8}
4. Какое множество определяет А\В, если А = {m, n, k, l, t}, B={m,n,k}
a) {m, n, k, l, t} б) {l, t} в) {m,n,k}
5. На каком рисунке изображено пересечение множеств А и В ()?
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - -- -- - - -- - - -- - --
1. Определить какое из множеств является подмножеством
А = {5, 15, 25, 35, 45, 55}
a) {55} б) {5, 25, 50} в) {25, 55, 75}
2. Какое из множеств определяет , если А = {2,4, 6, 8, 10}, B = {8, 10, 12, 14}
a) {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} б) {8, 10, 12, 14} в) {8, 10}
3. Какое из множеств определяет , если A = {2,4, 6, 8, 10}, B = {2, 4, 8, 9}
а) {2, 4, 6, 8, 10} б) {2, 4, 8, 9} в) {2, 4, 8}
4. Какое множество определяет А\В, если А = {m, n, k, l, t}, B={m,n,k}
a) {m, n, k, l, t} б) {l, t} в) {m,n,k}
5. На каком рисунке изображено пересечение множеств А и В ()?
раскрыть » / « свернуть